1.

Do A không thuộc hai đường trung tuyến đã cho nên giả sử đường trung tuyến xuất phát từ B, C lần lượt là \(2x-y+1=0;x+y-4=0\)

Trọng tâm G của tam giác có tọa độ là nghiệm của hệ \(\left\{{}\begin{matrix}2x-y+1=0\\x+y-4=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=3\end{matrix}\right.\Rightarrow G=\left(1;3\right)\)

Gọi M là trung điểm BC, ta có \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+3=\dfrac{2}{3}\left(x_M+2\right)\\3-3=\dfrac{2}{3}\left(y_M-3\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_M=4\\y_M=3\end{matrix}\right.\Rightarrow M=\left(4;3\right)\)

Gọi \(N=\left(m;2m+1\right)\) là trung điểm AC \(\Rightarrow C=\left(2m+2;4m-1\right)\)

Mà C lại thuộc CG nên \(2m+2+4m-1-4=0\Rightarrow m=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow C=\left(3;1\right)\)

Phương trình đường thẳng BC:

\(\dfrac{x-4}{3-4}=\dfrac{y-3}{1-3}\Leftrightarrow2x-y-5=0\)

2.

1.

Trọng tâm G của tam giác có tọa độ là nghiệm của hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x-5y+1=0\\x+y-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2}{3}\\y=\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\Rightarrow G=\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3}\right)\)

Gọi I là trung điểm BC, ta có \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AI}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2}{3}-1=\dfrac{2}{3}\left(x_I-1\right)\\\dfrac{1}{3}-2=\dfrac{2}{3}\left(y_I-2\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_I=\dfrac{1}{2}\\y_I=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\Rightarrow I=\left(\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{2}\right)\)

Gọi \(M=\left(5m-1;m\right)\) \(\Rightarrow C=\left(10m-3;2m-2\right)\)

Mà C lại thuộc CN nên \(10m-3+2m-2-1=0\Rightarrow m=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow C=\left(2;-1\right)\)

Phương trình đường thẳng BC:

\(\dfrac{x-2}{2-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{y+1}{-1+\dfrac{1}{2}}\Leftrightarrow x+3y+1=0\)

ai biêt

3:

AH: 2x-5y+1=0

=>BC: 5x+2y+c=0

Thay x=2 và y=-6 vào BC, ta được:

c+10-12=0

=>c-2=0

=>c=2

Đáp án A

Gọi M là chân đg trung tuyến hạ từ B đến AC

=>M(t,\(\frac{9t-7}{5}\) )

=>C(2t-2,\(\frac{18t-19}{5}\) )

pt AH:2x+3y-7=0

Do C=BC vuông với AH =>15x-10y+6t-8=0 

Tọa độ đỉnh B là nghiệm của hệ \(\begin{cases}9x-5y-7=0\\15x-10y+6t-8=0\end{cases}\) =>B(2t+2,\(\frac{18t+11}{5}\) )

Lại có BH vuông với AC =>BH*AC=0

                                           =>t=?

Mình tính được nghiệm là \(\begin{cases}B\left(3,4\right)\\c\left(-1,-2\right)\end{cases}\) 

1.

Tọa độ A là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x-y+2=0\\2x-3y+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-5\\y=-3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow A\left(-5;-3\right)\)

Phương trình BC qua B và vuông góc đường cao kẻ từ A có dạng:

\(1\left(x-2\right)+1\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow x+y-3=0\)

Gọi M là trung điểm BC thì tọa độ M thỏa mãn:

\(\left\{{}\begin{matrix}2x-3y+1=0\\x+y-3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M\left(\dfrac{8}{5};\dfrac{7}{5}\right)\)

M là trung điểm BC \(\Rightarrow C\left(\dfrac{6}{5};\dfrac{9}{5}\right)\)

2.

Do C thuộc AC nên tọa độ có dạng: \(C\left(c;2c+3\right)\)

Gọi M là trung điểm BC \(\Rightarrow M\left(\dfrac{c+4}{2};\dfrac{2c+5}{2}\right)\)

M thuộc trung tuyến kẻ từ A nên:

\(\dfrac{c+4}{2}+\dfrac{2c+5}{2}-1=0\Leftrightarrow c=-\dfrac{7}{3}\)

\(\Rightarrow C\left(-\dfrac{7}{3};-\dfrac{5}{3}\right)\)

Vì \(C\left(x_C;y_C\right)\) thuộc đồ thị hàm số \(x+y-5=0\) nên ta có \(x_C+y_C-5=0\)

\(\Leftrightarrow y_C=-x_C+5\Rightarrow C\left(x_C;-x_C+5\right)\)

phương trình đường thẳng BC có dạng \(y=ax+b\)

Vì đths \(y=ax+b\) vuông góc vs đths \(2x-5y+3=0\) nên ta có \(a.\dfrac{2}{5}=-1\Leftrightarrow a=\dfrac{-5}{2}\)

Vì B, C thuộc đths \(y=\dfrac{-5}{2}x+b\) nên ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{-5}{2}.3+b=5\\\dfrac{-5}{2}.x_C+b=-x_C+5\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{-5}{2}\left(3-x_c\right)=x_c\)

\(\Rightarrow x_c=5\Rightarrow C\left(5;-10\right)\)

Vì A thuộc đths 2x-5y+3=0 nên ta có \(2x_A-5y_A+3=0\)(1)

Gọi M là trung điểm của AB, ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_M=\dfrac{x_A+3}{2}\\y_M=\dfrac{y_A+5}{2}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow M\left(\dfrac{x_A+3}{2};\dfrac{y_A+5}{2}\right)\)

Vì \(M\left(\dfrac{x_A+3}{2};\dfrac{y_A+5}{2}\right)\) thuộc đths x+y-5=0 nên ta có\(\dfrac{x_A+3}{2}+\dfrac{y_A+5}{2}-5=0\)

\(\Leftrightarrow x_A+3+y_A+5-10=0\)

\(\Leftrightarrow x_A+y_A-2=0\)(2)

Từ (1), (2), ta có \(\left\{{}\begin{matrix}2x_A-5y_A+3=0\\x_A+y_A-2=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_A=1\\y_A=1\end{matrix}\right.\Rightarrow A\left(1;1\right)\)

1.

Đường thẳng song song d nên nhận \(\left(2;3\right)\) là 1 vtpt

Phương trình: \(2\left(x-1\right)+3\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow2x+3y-5=0\)

b.

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\left|\left(x_B-x_A\right)\left(y_C-y_A\right)-\left(x_C-x_A\right)\left(y_B-y_A\right)\right|\)

\(=\dfrac{1}{2}\left|-2.2-3.1\right|=\dfrac{7}{2}\)

c.

Gọi M là trung điểm BC \(\Rightarrow M\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{5}{2}\right)\Rightarrow\overrightarrow{AM}=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{1}{2}\left(1;3\right)\)

Pt tham số: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=1+3t\end{matrix}\right.\)

d. Phương trình:

\(2\left(x-1\right)+1\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow2x+y-3=0\)

+) Phương trình đường cao qua B : 2x - y + 1 = 0 

=> Phương trình AC có dạng : x + 2y + c = 0 

Vì A ( 2; -1 ) thuộc AC => 2 + 2 ( -1 ) + c = 0 => c = 0

=> Phương trình AC: x + 2y = 0 

=> Tọa độ điểm C thỏa mãn phương trình AC và đường cao qua C 

nên là nghiệm của hệ pt: \(\hept{\begin{cases}x+2y=0\\3x+y+2=0\end{cases}}\)<=> C ( -4/5; 2/5) 

+) Phương trình đường cao qua B : 3x + y + 2 = 0 

=> Phương trình AB có dạng : x - 3y + b = 0 

Vì A ( 2; -1 ) thuộc AB => 2 - 3 ( -1 ) + b= 0 => c = -5

=> Phương trình AB: x -3y -5 = 0 

=> Tọa độ điểm B thỏa mãn phương trình AB và đường cao qua CB

nên là nghiệm của hệ pt: \(\hept{\begin{cases}2x-y+1=0\\x-3y-5=0\end{cases}}\)<=> C ( -8/5; -11/5) 

+) M là trung điêm BC => M ( -6/5; -9/10 ) 

Mà A ( 2; -1) 

=> \(\overrightarrow{MA}=\left(\frac{16}{5};-\frac{1}{10}\right)\)

=> MA có véc tơ pháp tuyến: ( 1/10; 16/5)

=> Viết phương trình MA : 1/10 ( x- 2 ) + 16/5 ( y+ 1 ) = 0 

<=> x + 32y+ 30 = 0